وبلاگ

جبر خطّی شاخه­ای از ریاضیّات است که به بررسی و مطالعه ماتریس­ها، بردارها، فضاهای برداری، تبدیل­های­ خطی و دستگاه­های معادله­های خطّی می ­پردازد. علاوه بر کاربردهای فراوان جبر خطی در زمینه­هایی از خود ریاضیات همانند آنالیز تابعی، هندسه تحلیلی و آنالیز عددی، استفاده­های وسیعی نیز در فیزیک، مهندسی، علوم طبیعی و علوم اجتماعی پیدا کرده است [19] [16].

برای به کار بردن دانش جبر خطی در علوم تجربی، فیزیک و مهندسی، که همگی لازم به انجام محاسبات عددی در آزمایش­ها و تحلیل داده ­ها هستند، نیاز به توسعه شاخه­ای به نام جبر خطی عددی وجود دارد. جبر خطی عددی دانش مطالعه بر روی الگوریتم­های عددی جهت محاسبات جبر خطی بوده که مهم­ترین آنها عملیات ماتریسی برروی کامپیوتر است. عملیات ماتریسی پایه و اساس بسیاری از محاسبات مهندسی از قبیل پردازش تصویر، سیگنال، مخابرات، محاسبات مالی، علوم مهندسی مواد، بیولوژی و… است.

یکی از مسائل عمومی عملیات ماتریسی تجزیه ماتریس[1] است. تجزیه ماتریس یک عمل فاکتورگیری[2] از ماتریس به صورت حاصلضرب چند عامل ماتریسی است. تجزیه­های ماتریسی مهم وپرکاربرد عبارتند از:  تجزیهLU ماتریسی[3]، تجزیه چولسکی ماتریس[4]، تجزیه QR ماتریس[5]، تجزیه  EVDماتریس[6]، تجزیه قطبی ماتریس[7] وتجزیه مقادیر منفرد ماتریس[8] یا  .SVD

درجبر خطی، الگوریتم SVD یک تجزیه از ماتریس حقیقی یا مختلط است که از ابزارهای قدرتمند باکاربردهای فراوان، مفید و تاثیرگذار در

 علوم پایه، فنی مهندسی و همچنین در پردازش سیگنال وآمار است. الگوریتم SVD یک تکنیک برای تجزیه یک ماتریس به ضرب سه فاکتور می‌باشد.

الگوریتم ژاکوبی یکی از اولین الگوریتم­ها جهت اجرایی کردن SVD است. الگوریتم ژاکوبی یک ماتریس مستطیلی را به یک ماتریس قطری با بهره گرفتن از دنباله­ای از ضرب ماتریس­های چرخشی[9] تبدیل می­ کند. این روش می ­تواند مقادیر منفرد را با دقت بالا پیدا کند. لازم به ذکر است به کار بردن این روش به تنهایی خود عملکرد پائینی دارد، بنابراین باید به سمت روش­هایی با عملکرد بالاتری روی آورد. روش تجزیه مرحله­ ای QR یکی از این
الگوریتم­های عمومی وکاربردی در این زمینه است که با انجام پیش­ پردازش QR می­توان عملکرد اجرایی بالایی را به دست آورد. اساس مهم­ترین روش­های مدرن پیاده سازی الگوریتم SVD، کاهش ماتریس به شکل قطری با بهره گرفتن از تبدیل­های متعامد است. یکی از مزیّت­های تجزیه مرحله ای QR، قابلیّت حل مسائل با دقت و همگرایی بالا می باشد [29] و [9] .

روش­های استاندارد SVD، در بسته­های   LINPACKو LAPACK پیاده سازی شده ­اند. در این پایان نامه ، ما قصد استفاده از ابزارهای موازی نرم افزار MATLAB را داریم که در ادامه، مزیّت­های آن­را نسبت به نرم­افزارهای مشابه جهت موازی­سازی و معماری ساختار موازی به اختصار توضیح خواهیم داد.

توسعه روش پیش پردازش مرحله­ ای QR در الگوریتم ژاکوبی موازی می ­تواند منجر به پیاده­سازی بهینه الگوریتم SVD گردد. این روش ابتکاری می ­تواند در آنالیز و بهینه سازی داده ­ها کاربردهای فراوانی داشته باشد.

[1] Matrix decomposition

[2] Factorization

[3] Lu deomposition

[4] Cholesky decomposition

[5] QR decomposition

[6] Eigenvaluc decomposition

[7] Polar decomposition

[8] Singular value decomposition

[9] Rotation matrix