وبلاگ

فرض کنید  جامعه داریم که جامعه -ام دارای توزیع نمایی دوپارامتری با تابع چگالی زیر باشد

 

جائیکه   ها پارامترهای مقیاس و  ها پارامترهای مکان می باشند. فرض کنید از کل  جامعه ،  جامعه مربوط به گروه تیمار و  جامعه مربوط به گروه کنترل باشند . در این فصل به بررسی کاربرد توزیع نمایی دوپارامتری، تاریخچه، نتایج موردنیاز، نمونه گیری دومرحله ای وآزمون نمایی بودن ونابرابری پارامترهای مقیاس به همراه مفاهیم اولیه می پردازیم.

 

1-1- کاربرد توزیع نمایی

 

توزیع نمایی دارای کاربردهای متعددی در زمینه های آزمایشگاهی شیمی ، داروسازی و کشاورزی می باشد که در زیر به چند نمونه از آن ها اشاره می کنیم :

 

1-در قابلیت اعتماد پارامتر مکان توزیع نمایی دوپارامتری به عنوان زمان گارانتی قطعه الکتریکی و پارامتر مقیاس به عنوان متوسط طول عمر استفاده می شود.

 

2-در نظریه صف ، توزیع نمایی برای زمان بین مراجعه کنندگان استفاده می شود .

 

3-در مطالعات زیست شناسی پارامتر مکان ، دوره پنهان بیماری و پارامتر مقیاس مدت زمان بیماری علاوه بر مدت زمان پنهان بیماری نامیده می شود.

 

1-2-تاریخچه

 

  در سال  روش مقایسه چندگانه با کنترل تحت نابرابری را برای حالتی که در آن  پارامتر مقیاس نامعلوم و نابرابر باشندرا پیشنهاد دادند.  وهمکاران در سال  روش مقایسه چندگانه با کنترل را برای حالتی که  پارامتر مقیاس با هم برابر باشند یعنی  پیشنهاد دادند.برای مقایسه چندین پارامترمکان توزیع نمایی با بیش از یک کنترل، با فرض برابری پارامترهای مقیاس،  در سال  روش هایی برای تشکیل فواصل اطمینان یک طرفه و دوطرفه را ارائه دادند.

 

1-3-نتایج مورد نیاز

 

در ادامه نتایج و مباحثی که در ادامه پایان نامه مورد نیاز می باشد را مورد بررسی قرار
می دهیم .

 

قضیه(1-1)

 

 اگر  یک نمونه تصادفی  تایی از جامعه نمایی دوپارامتری با پارامتر مکان  و پارامتر مقیاس

 

 باشد در این صورت داریم :

 

الف :  دارای توزیع کای اسکور با  درجه آزادی است .

 

ب :  دارای توزیع نمایی استاندارد می باشد.

 

پ :  از یکدیگر مستقل هستند.

 

ج :   دارای توزیع  با  درجه آزادی است.

 

جائیکه :

 

اثبات :

 

ابتدا با بهره گرفتن از روش تابع توزیع نشان می دهیم که  (کوچکترین آماره

 

ترتیبی) دارای توزیع نمایی دوپارامتری  می باشد.

 

ابتدا تابع توزیع متغیر تصادفی  را بدست می آوریم.

 

     بنا به مستقل و هم توزیع بودن  داریم.

 

با مشتق گیری از  نسبت به  داریم :

 

بنابراین :

 

درنتیجه :

 

در این قسمت توزیع  را بدست می آوریم .

 

از قبل می دانیم که اگر  یک نمونه تصادفی تایی از توزیع نمایی دوپارامتری  باشد 

 

آن گاه متغیرهای تصادفی  دارای توزیع نمایی  می باشند . داریم :

 

برای پیداکردن توزیع  ابتدا توزیع ها را بدست می آوریم.اگر  یک نمونه تصادفی تایی از توزیع  جاییکه  باشد،آن گاه داریم :

 

برای اثبات رابطه فوق (رجوع شود به فصل اول پارسیان قسمت (ط))

 

فرض کنید  آماره های ترتیبی نمونه تصادفی  باشند. چگالی آماره های ترتیبی  به صورت زیر است .

 

نشان می دهیم متغیرهای تصادفی

 

مستقل و هم توزیع با توزیع  می باشند.

 

ژاکوبین تبدیل فوق برابر است با:

 

و به سادگی داریم :

 

پس

 

با توجه به اینکه حدود  ها به یکدیگر بستگی ندارد و تابع چگالی توأم آنها به صورت حاصل ضرب  تابع

 

چگالی نمایی با پارامتر  در آمده است ، بنابراین  ها از یکدیگر مستقل و هم توزیع ( با توزیع     )

 

می باشند .

 

به سادگی داریم :

 

با توجه به مطلب فوق

 

ویا

 

در نتیجه :

 

 

 

بنابراین :

 

در نتیجه توزیع  به صورت زیر خواهد بود .

 

برای اثبات قسمت (ب) داریم :

 

با بهره گرفتن از روش تابع توزیع داریم :

 

 جائیکه :

 

با بهره گرفتن از روابط بین توزیع ها داریم :

 

پس:

 

یعنی wدارای توزیع نمایی استاندارد می باشد.

 

برای اثبات قسمت (پ) داریم :

 

در قسمت های قبل نشان دادیم که برای یک  ثابت  دارای توزیع کای اسکور با  درجه

 

آزادی است پس یک آماره فرعی می باشد که توزیع آن به پارامتر مجهول بستگی ندارد . همچنین برای  ثابت

 

می توان نشان داد که   یک آماره بسنده کامل برای  می باشد . پس برای یک  ثابت   از

 

 (طبق قضیه باسو) مستقل می باشند . حال چون  دلخواه می باشد پس می توان گفت

 

  از  نیز مستقل می باشد .

 

برای اثبات قسمت (ج) داریم :

 

در اینجا صورت و مخرج عبارت  را بر  تقسیم می کنیم :

 

در قسمت های قبل نشان دادیم که  و   طبق قضیه باسو از یکدیگر مستقل می باشد و همچنین

 

 

 

و

 

 در نتیجه :

 

فرض کنید  دو متغییر تصادفی و  دو مقدار ثابت مثبت باشند، آنگاه :

 

 اثبات :

 

فرض کنید  باشد. برای اثبات لِمِ (1-1) از روش عضو گیری استفاده می کنیم.  فرض کنید که

 

عضوی از ناحیه ی  باشد، ثابت می کنیم که این  نقطه عضوی از    ناحیه ی  است.

 

اگر داشته باشیم  ، آنگاه به راحتی می توان به نتایج زیر رسید :

 

می دانیم که  هستند. اکنون دو حالت مختلف را در نظر می گیریم :

 

حالت اول  :

 

با بهره گرفتن از رابطه (1-1) داریم :

 

از طرفی با توجه به این که  است و در این حالت  می باشد، بنابراین داریم :

 

در نتیجه داریم :

 

بنابراین به راحتی نتیجه می گیریم :

 

حالت دوم :

 

می دانیم که در این حالت  است . حال اگر  باشد، با توجه به این که در این حالت

 

 است و رابطه ی (1-1) نتیجه می گیریم :

 

بنابراین داریم :

 

و در نتیجه :

 

پس در حالتی که  است، ثابت کردیم که :

 

حال اگر در حالت  ، فرض کنیم که  باشد ، در این صورت با توجه به این که در رابطه ی (1–1)

 

داریم  است می توان به نتایج زیر رسید :

 

بنابراین داریم :

 

و در نتیجه :

 

پس در حالتی که  است نیز ثابت کردیم که :

 

بنابراین برای هر دو حالت  و در حالتی که  است ، در اینجا اثبات کامل می شود. برای

 

حالتی که  است ، اثبات به طور مشابه به دست می آید .

 

نامساوی بانفررونی :

 

فرض کنید ،  تا پیشامد  باشند آن گاه داریم :

 

Halperin و همکاران در سال (1955) روش بانفرونی را در حالت نمونه گیری دو مرحله ای به صورت زیر بیان کردند

 

جائیکه  ها نشان دهنده مکمل مجموعه  می باشند.

 

1-4-نمونه گیری دومرحله ای از جامعه ای با توزیع نمایی دو پارامتری:

 

در نمونه گیری دو مرحله ای از جامعه ای باتوزیع نمایی دو پارامتری ، نخست  نمونه تایی  از جامعه انتخاب می شود سپس با محاسبه  برای جامعه عبارت زیر محاسبه می شود

 

که  موجود در رابطه  یک مقدار مثبت دلخواه  می باشد که جهت کنترل طول فاصله اطمینان استفاده

 

می شود و  نشان دهنده بزرگترین عدد صحیح کوچکتر یا مساوی با می باشد. 

 

جائیکه :

 

در نمونه گیری دو مرحله ای در صورتی که  باشد به مشاهدات اولیه ، مشاهده های 

 

 اضافه می شود ودر کل مشاهدات به صورت زیر حاصل می شوند

 

فرض کنید :

 

قضیه (1-2)

 

در نمونه گیری دومرحله ای با  تعریف شده در  و  در (1.3) داریم :

 

اگر  یک نمونه تصادفی  تایی از جامعه نمایی دوپارامتری باشد در این صورت داریم :

 

الف)  دارای توزیع نمایی استاندارد است .

 

ب)  از هم مستقل هستند.

 

پ)  دارای توزیع  با و  درجه آزادی می باشد.